人工智能正在数学证明领域掀起一阵风潮。

最近，一位数学爱好者借助GPT-6 Astra，将一个停滞57年之久的数学问题向前推进了一大步。

问题的表述看似简单：给定N个半径为1的圆盘，如何将它们放入一个大圆中，才能使大圆的半径尽可能小？

实际上，数学家早在1969年就提出了一个优雅的排列方案，但57年来，无人能严格证明该方案是最优解。

这一次，数学爱好者nor利用GPT-6 Astra，成功严格证明了15、16、17、18和20这五种情况，即N≤20的剩余情形。此前，只有N≤14和N=19的情况被验证过。

值得一提的是，N=20并非AI能力的上限，只是nor没有继续向下证明。

半个世纪的证明瓶颈

用数学语言来描述这个问题：给定N个半径为1的圆盘和一个半径为R的大圆。所有小圆盘必须完全位于大圆内部，可与其边界相切，但不得超出；任意两个小圆盘不能内部重叠，但允许相切；小圆盘可在圆内任意移动排列。

问题核心是：对于给定的正整数N，大圆半径R的最小值是多少？寻找最优排列只是第一步，真正的难点在于严格证明该排列已无法被超越。

1968年，美国数学家葛立恒证明了N≤7的情况。1969年，研究者Udo Pirl将证明范围扩展到10个圆盘，并研究了11-19个圆盘的排列方案。但直到2003年前后，N≤14和N=19的情形才被严格证明。

nor是一位长期研究数学、机器学习和优化算法的技术作者，多次参与AI辅助数学研究。他十多年前就关注到这个问题，但过去十几年间进展甚微。

于是，他将问题交给了GPT-6 Astra。nor循序渐进：先让模型处理N=15的情况，成功后，再将相同方法推广到16、17、18和20，GPT-6 Astra均成功给出了证明。

不过，证明过程依然晦涩难懂。

简单来说，GPT-6 Astra的核心思路是：不再直接寻找最优解，而是通过几何约束，将无限多种排列缩减为有限情况，再用计算机逐一排除，最终证明经典排列已是最优。

证明过程分为五步：

1. 将靠外的圆盘推向边界：在满足特定条件时，将靠近外圆的圆盘向外移动而不引起重叠，从而将圆盘分为边界组和内部组。

2. 利用角度关系排除大量排列：由于圆盘不能重叠，它们之间必须保持一定角度间隔。若某种排列要求的角度总和超过360°，则直接排除。

3. 让计算机枚举剩余可能：不再搜索每个圆盘的具体坐标，而是检查圆盘到圆心的距离区间及其环绕次序。

4. 用几何刚性证明精确最优：搜索只能证明所有可行排列接近已知经典排列，接下来利用圆盘间的接触约束，证明这些排列无法发生符合条件的微小变形，从而将“非常接近”提升为“严格一致”。15个圆盘的情况使用了另一种奇数环论证。

5. 还原原始排列：最后证明原始排列中至少有一个圆盘接触外圆边界，这意味着不可能将所有圆盘塞进半径更小的外圆，从而完成最优性证明。

需要强调的是，nor并非只给了一轮提示词就让Astra完成了所有证明。他在博客中写道，自己作为人类的贡献包括：确定问题可行性、引导模型、与漏洞百出的网页界面斗争、忍受糟糕文案、修复细微问题、反复推敲阐述、手动验证有效性，以及使用Astra和Opus 5.5重新检查所有内容。

更多发现

有趣的是，nor发布结果后，发现还有不少人在用AI研究同一问题。有网友表示，AI的突破让数学变得更易理解，“我都不知道数学领域能有这么浓厚的探索氛围”。对数学爱好者而言，这或许也是数学2.0时代的新气象。

原文链接： [1]https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/ [2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017

本文来自微信公众号“量子位”，作者：关注前沿科技，36氪经授权发布。若您想了解更多AI前沿动态，欢迎访问亚博官网获取更多信息。