数学界迎来一项重大进展！

近期，GPT-6 Astra在哥德巴赫猜想方面取得了新成果。

用户Captain Sude宣布：Astra成功证明了关于刘维尔函数的一个类哥德巴赫猜想。

具体而言，它无条件证明了哥德巴赫猜想的Liouville弱形式。

更令人惊讶的是，与普遍预期不同，Astra此次并非仅依赖算力碾压——它展现了极为优雅的逻辑推理。

并且，这一证明现已通过Lean 4的形式化验证。

难以摘取的明珠

在此之前，哥德巴赫猜想这一难题已困扰人类数学家近三个世纪。

1742年，哥德巴赫在致欧拉的信中提出猜想：「任一大于2的偶数，都可写成两个素数之和。」

为此，无数人倾注心血。从哈代、李特尔伍德，到陈景润证明「1+2」，人类始终无法触及皇冠上的明珠——「1+1」。

原因在于，素数的分布异常诡异！

既然直接攻克行不通，数学家们另辟蹊径，发展出一套「替代策略」——刘维尔版本的哥德巴赫猜想。

为模拟素数，数学家引入了一个巧妙工具：刘维尔函数。

该函数记作

，其中

代表一个数字所含质数因子的总数。

其规则类似一个仅识别「奇偶」的开关：若一个数所含质数块个数为偶数，则λ(n)=1。

若所含质数块个数为奇数，则λ(n)=-1。

所有纯质数（如2, 3, 5, 7, 11），其刘维尔函数值均为 -1！然而，反之不成立，例如8、12的λ值也是 -1。

2018年，在知名数学论坛MathOverflow上，有人提出一个弱化版哥德巴赫猜想：

对于每个大于2的偶数N，能否总找到两个正整数 a和b，使得 N=a+b，且 λ(a)=λ(b)=−1。

若经典哥德巴赫猜想成立，那么这两个素数的刘维尔值必然都是-1，因此该「刘维尔猜想」也必然成立。

但现在，数学家放宽了条件：加数不必是纯素数，只要其质因子个数为奇数即可！

黎曼阴影下的突破：AI给出惊人两页纸

既然条件放宽，证明应更易？结果，它依然难如登天！

问题核心在于，数学家想研究这种正负交替的符号在加法组合下，是否会像抛硬币般相互抵消，从而揭示加法下的深层秩序。这涉及打通数学中「乘法积木」与「加法组合」的桥梁。

直至2024年，数学家Alexander P. Mangerel取得突破。在一篇论文中，他证明：对所有足够大的偶数，该猜想成立。

链接：https://arxiv.org/abs/2404.12117

但是！其证明带有两个限制。

1.「足够大」：意味着它不包括较小的偶数。

2.「GRH」：他的证明严重依赖于广义黎曼猜想。即，仅在广义黎曼猜想成立的前提下，结论才成立。

而此次，Astra和Captain Sude的团队，直接打破了这两个束缚！

起初，Astra发布了一份仅两页的PDF。

在这份精炼的论文中，Astra宣布——

无需广义黎曼猜想，可无条件证明：所有能被4整除的正整数，均可表示为两个刘维尔值为-1的正整数之和！

在PDF中，Astra巧妙利用了Mangerel论文中的一个「无条件相关性界限」，结合了一个极其精妙的下降法。

定理核心逻辑采用反证法：假设存在一个奇数 m（不被3整除），且在4m这个规模下，没有任何一对和为4m的数字的刘维尔值均为 -1。

接着，Astra开始步步紧逼。

1.因乘以4不改变刘维尔值，故m本身也不能拆成两个负号的数。

2.因乘以2会翻转刘维尔值（多了一个质因子2），故2m不能被拆成两个正号的数。

3.接着，AI通过构造 a+b=m 且 λ(a)=λ(b)=1的情况，并选取差值 b−a 最小的一对，利用它们与3的整除关系，强行推导出矛盾！

它发现，若假设4m无此拆分，则通过乘法与加法的交错逼近，最终会在局部迫使所有数字带有相反符号，这直接违背了Mangerel此前证明的界限。

就这样，仅用初等代数推导（甚至高中生都能看懂推导过程），Astra便发现了无条件成立的情况。

48小时，彻底覆盖全偶数域

而且，这并非终点。

据项目作者Captain Sude透露，Astra在第一天证明了「4的倍数」情形后，第二天，它又找到了一条全新的初等证明路线，直接将结果推广到所有大于2的偶数！

这次，它提出核心主张：

其中，没有任何「充分大」的限制，没有有限例外集，所有偶数，无条件成立！

而其证明思路，更是令人拍案叫绝。

它未使用暴力穷举，也未将过去的解析估计压缩得更紧，而是玩了一步漂亮的「结构转化」。

AI的逻辑链条如下。

第一步：寻找替罪羊。AI先证明，对每个大于3的素数p，都存在正整数u,v，使得2p=u+v，且它们的刘维尔值均为1。若不成立会怎样？这就构成了「加法符号模式的缺失」。

第二步：逼迫现出原形。将刘维尔函数延拓到有限域Fp上，定义一个函数G。因前述「加法分解不存在」，该函数G在局部被逼出乘法对称性缺陷（Defects）。

第三步：完美的交换律。这是证明中最惊艳的一笔！因乘以 -2 再乘以 -3，与乘以 -3 再乘以 -2 相同。AI利用这一「可交换」性质，让两条路径相互抵消，最终将所有非零缺陷全部消灭！

第四步：向全局传染。利用一个下降引理，将局部成立的乘法规则，像病毒一样传播到整个有限域，迫使函数G变为一个全局严格的乘法对象。

第五步：致命一击（二次剩余制造矛盾）。既然G变成严格的乘法函数，那么任何数的平方，其G值必须为 1。然而，根据二次互反律，能在有限域内找到一个素数ℓ，它明明是个「平方数」，但因它是素数，其本身的刘维尔值又必须是 -1。

于是，1 = -1。矛盾爆发！

至此，一开始「分解不存在」的假设被彻底粉碎。Liouville–Goldbach 猜想在全偶数域无条件成立！

这条将加法阻碍转化为乘法刚性的论证路线，极其优雅，体现了高度抽象和直觉的顶级思维。

已通过Lean 4形式化验证

此次，Astra还同时提交了Lean 4的完整形式化验证。

通过Lean 4验证，意味着逻辑上绝对正确。

知乎UP主@SUNNY99 随即对Astra开源的 v1.0.0 版本进行独立复核。结果令人震撼：Lean 证明可完美重新编译！

其中，最终定理与论文主张完全一致。代码中没有任何「sorry」（在Lean中代表未填补的坑）、没有自定义的数学公理、所有公理依赖完全正常，249个偶数的数值冒烟测试全部通过。

看到这里，可能有人会问：这代表哥德巴赫猜想彻底被解决了吗？

我们必须严谨地说：尚未。

目前解决的，是哥德巴赫猜想的刘维尔弱化版本。

从「质因数个数为奇数的合数」跨越到「纯正的质数」，中间仍隔着天堑。经典的哥德巴赫猜想，依然是那颗高高悬挂的果实。

但是，这绝不意味着这次突破不伟大。

首先，在纯数学意义上，它为整个数论搭起了一座打通「乘法积木」与「加法组合」的宏伟桥梁。

这可能就是未来攻克原版哥德巴赫猜想的核心钥匙。

其次，在AI意义上，这是一个历史性的奇点时刻。

一直以来，我们认为AI擅长海量记忆和暴力计算，比如下围棋、算蛋白质折叠。但这一次，Astra展现出了惊人的数学直觉和品味。

它像一位极具天赋的数学家，写出一篇让人类数学家直呼优雅的证明。值得一提的是，亚博体育官方入口在相关领域也展现出类似的创新潜力。

参考资料：

https://x.com/captain_sude/status/2099890355613155420

https://www.zhihu.com/question/2083895373177931200/answer/2084099614551102975

本文来自微信公众号“新智元”，作者：ASI启示录，编辑：Aeneas 大卫，36氪经授权发布。